Vektörler: Yön Taşıyan Büyüklükler | Konu Anlatımı, Simülasyon ve Test

Önce tahmin et

Bir sandığa 3 birimlik ve 4 birimlik iki kuvvet uygulanıyor. Kuvvetlerin yönünü istediğin gibi seçebilirsin. Bileşke kuvvet en küçük kaç birim olabilir?

0 1 5 7

Önce bir seçenek işaretle, sonra simülasyonda dene.

SimülasyonVektör toplama simülasyonuİki vektörün büyüklüğünü ve yönünü değiştir; uç uca ekleme, paralelkenar ve bileşkeyi canlı gör.

Skaler mi, vektörel mi?

Bazı büyüklükleri söylemek için bir sayı ve birim yeter: “Kütlem 60 kilogram”, “Sıcaklık 20 derece”, “Ders 40 dakika”. Bunlara skaler büyüklük denir. Yön sorusu anlamsızdır; “hangi yöne 60 kilogram?” diye sorulmaz.

Bazı büyüklüklerde ise sayı tek başına yetersiz kalır. “Arabanın hızı saatte 90 kilometre” deseniz bile, İstanbul’a mı gidiyor Ankara’ya mı bilmezsiniz. “Kapıyı 20 newton kuvvetle ittim” de eksiktir; içeri mi dışarı mı? Büyüklüğünün yanında yönü de olan büyüklüklere vektörel büyüklük denir.

Skaler (yalnızca sayı + birim)	Vektörel (sayı + birim + yön)
kütle, zaman, sıcaklık	yer değiştirme, hız, ivme
enerji, iş, güç	kuvvet, ağırlık, momentum
alınan yol, sürat	elektrik alan, manyetik alan

Sınavların sevdiği tuzak şu: yol skalerdir, yer değiştirme vektöreldir; sürat skalerdir, hız vektöreldir. Bir tur koşup başladığınız yere dönerseniz yol 400 metre, yer değiştirme sıfırdır.

Vektörü nasıl gösteririz?

Bir vektörü ok ile çizeriz. Okun uzunluğu büyüklüğü, ucu yönü gösterir; okun başladığı noktaya uygulama noktası denir. Kâğıt üzerinde A vektörünü A (koyu) ya da üzerinde ok işaretiyle yazarız; yalnız büyüklüğünden söz ederken |A| deriz.

Birkaç küçük kural, soruların yarısını çözer:

Eşit vektörler: Büyüklükleri ve yönleri aynıysa, kâğıdın neresinde çizildikleri fark etmez; aynı vektördür. Bu yüzden bir vektörü kaydırarak taşıyabiliriz.
Zıt vektör: −A, A ile aynı uzunlukta ama ters yöndedir. Toplamları sıfırdır.
Sayıyla çarpma: 2A, A’nın yönünde ve iki katı uzunluğundadır; −3A, ters yönde üç katı uzunluğundadır.

Toplama: uç uca ekleme

İki vektörü toplamak, iki yürüyüşü arka arkaya yapmak gibidir. Önce A kadar yürü, sonra kaldığın yerden B kadar yürü. Başlangıç noktandan vardığın noktaya çizilen ok, bileşke vektör R’dir. Simülasyonda gördüğün yöntem tam olarak bu: B, A’nın ucundan başlar; R ise ilk başlangıçtan son uca gider.

Aynı sonucu paralelkenar yöntemiyle de bulursun: A ve B’yi aynı noktadan başlat, uçlarından karşı kenarlara paralel çizgiler çek; köşegen bileşkedir. Simülasyonda “Paralelkenarı göster” kutusunu işaretleyince iki yöntemin aynı R’yi verdiğini görürsün.

Bileşkenin alabileceği değerler iki vektörün açısına bağlıdır:

Aynı yön (0°): R en büyüktür, |R| = |A| + |B|.
Zıt yön (180°): R en küçüktür, |R| = |A| − |B| (büyük olandan küçüğü çıkar; yönü büyük olanınkidir).
Dik (90°): Pisagor devreye girer; 3 ve 4 birim için 5 birim.

Bu yüzden “3 ve 4 birimlik iki vektörün bileşkesi” 1 ile 7 arasında herhangi bir değer olabilir ama 8 ya da 0 olamaz. Tahmin kutusundaki soru da buydu.

Bileşenlere ayırma

Toplamanın tersi de işe yarar: tek bir vektörü, biri yatay biri dikey iki vektörün toplamı gibi yazabiliriz. Yokuş yukarı çektiğiniz bavulun kuvvetinin bir kısmı bavulu ileri götürür, bir kısmı yukarı kaldırır. x ekseniyle θ açısı yapan A vektörü için yatay bileşen A·cos θ, dikey bileşen A·sin θ olur.

Sınavlarda açılar çoğunlukla 37° ve 53° seçilir, çünkü cos 37° ≈ 0,8 ve sin 37° ≈ 0,6 (53° için tersi). 10 birimlik bir vektör 37° ile duruyorsa bileşenleri 8 ve 6 birimdir; bu 3-4-5 üçgeninin iki katından başka bir şey değil. Birden çok vektörü toplarken en sağlam yol da budur: hepsini x ve y bileşenlerine ayır, aynı eksendekileri topla, sonunda tek bir Pisagor yap.

Çıkarma

A − B demek, A + (−B) demektir: B’yi ters çevir, sonra topla. Simülasyonda B’nin yönünü 180° döndürerek bunu görebilirsin. Çıkarma sorularında şaşırtan şey yalnızca yöndür; büyüklük hesabı toplamadakiyle aynı formülü kullanır.

Örnek 1 Yol mu, yer değiştirme mi? TYT

Bir öğrenci okul bahçesinde önce 6 m doğuya, sonra 8 m kuzeye yürüyor. Öğrencinin aldığı yol ve yer değiştirmesinin büyüklüğü kaç metredir?

Çözümü gör

Yol skalerdir; iki parçayı toplarız: 6 + 8 = 14 m. Yer değiştirme başlangıçtan bitişe çizilen oktur. İki yürüyüş birbirine dik olduğundan Pisagor kullanırız: √(6² + 8²) = √100 = 10 m. Yönü, doğu ile kuzey arasındadır (doğu doğrultusuyla 53° açı yapar, çünkü tan θ = 8/6). Dikkat: yol 14 m iken yer değiştirme 10 m. Yer değiştirme asla yoldan büyük olamaz.

Örnek 2 Eşit büyüklükte iki vektör, 120° açı AYT

Büyüklükleri eşit ve F olan iki vektör arasındaki açı 120°’dir. Bileşkenin büyüklüğü nedir?

Çözümü gör

Kosinüs formülünü yazalım: R² = F² + F² + 2·F·F·cos 120°. cos 120° = −1/2 olduğundan R² = 2F² − F² = F², yani R = F. Çizimle de görülür: iki vektör ve bileşke eşkenar bir üçgen oluşturur, bu yüzden bileşke de F uzunluğundadır ve açıortay yönündedir. Simülasyonda |A| = |B| yapıp açıyı 120°’ye getir; R’nin A ile aynı uzunlukta çıktığını oku.

Özet

Skaler: sayı + birim. Vektörel: sayı + birim + yön.
Vektör ok ile gösterilir; eşit vektörler kaydırılabilir, −A ters yönlü eştir.
Toplama için uç uca ekle ya da paralelkenar çiz; ikisi aynı R’yi verir.
|A| − |B| ≤ |R| ≤ |A| + |B|. Dik vektörlerde Pisagor.
Karmaşık sorularda önce bileşenlere ayır, eksenleri ayrı topla.

Sık karışanlar

“Bileşke her zaman iki vektörden büyüktür.” Hayır. Zıt yönlü vektörlerin bileşkesi ikisinden de küçük olabilir, hatta sıfır olabilir.

“Sürat ve hız aynı şey.” Günlük dilde evet, fizikte hayır. Sürat skaler, hız vektöreldir. Sabit süratle viraj alan araba hız değiştirir, çünkü yönü değişir.

“Vektörü taşıyınca değişir.” Değişmez. Yönü ve uzunluğu korunduğu sürece vektör aynıdır; bu yüzden uç uca ekleme yöntemi işler.